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广东省珠海市斗门一中2009-2010学年高一三月月考(数学)

发布时间:

珠海市斗门一中高一年级三月月考

数学试卷

(考试时间 120 分钟,满分 150 分)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 8 页,

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卷密封线内. 2.每小题选出答案后,必须填写在答题卷相应的表格内,不能答在试卷上. 3.本次考试不允许考生使用计算器.
一、选择题:本大题共 10 小题每小题 5 分;共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.

1.已知 a ? (?2, 4), b ? (1, 2) , 则 a b 等于 (

)

A.0

B.10

C.6

D. ?10

2.已知数列?an? 的通项公式是 an ? n2 ? n ,则 a4 等于(

)

A.3

B.9

C.12

D.20

3.在*行四边形 ABCD 中, CA + AB + BD 等于 (

)

A. AB

B. BC

C. CD

D. DC

4.已知向量 a ? ?3,1?,b ? ?2k ?1, k ?, a ? b, 则 k 的值是(



A.-1

B. 3 7

C.- 3 5

5.已知数列?an? 的通项公式是 an ? 2n ? 5 ,则此数列是(

D. 3 5
)

A. 以 7 为首项,公差为 2 的等差数列 B. 以 7 为首项,公差为 5 的等差数列

C. 以 5 为首项,公差为 2 的等差数列 D. 不是等差数列

6.对于向量 a、b,下列命题正确的是 (



A.若 a·b=0,则|a|=0,|b|=0 B. (a·b)2=a2·b2

C.若|a|=|b|=1,则 a=±b

D.若 a、b 是非零向量,且 a⊥b,则|a+b|=|a-b|

7. 在△ABC 中,若 B ? 45?,C ? 60?, c ? 1,则最短边的边长等于(

)

A. 6 3

6

1

3

B.

C.

D.

2

2

2

8.直角三角形的三条边长构成等差数列,则其最小内角的正弦值为 (



A. 3 5

B. 4 5

C. 5 ?1 2

D. 5 ? 1 4

9.在 △ABC 中,角 A﹑B﹑C 的对边分别是 a﹑b﹑c,若 C=900,则 sin2A= (

)

A. 2a c

2b
B.
c

ab
C.
c2

2ab
D.
c2

? ? 10.设定义域为 x1, x2 的函数 y ? f (x) 的图象为 C,图象的两个端点分别为 A、B ,点 O
为坐标原点,点 M 是 C 上任意一点,向量→OA=(x1,y1),O→B=(x2,y2),→OM=(x,y),满 足 x=λ x1+(1-λ )x2(0<λ <1),又有向量→ON=λ O→A+(1-λ )O→B,现定义“函数
? ? y=f(x)在 x1, x2 上可在标准 k 下线性*似”是指|→MN|≤k 恒成立,其中 k>0,k 为常数。
根据上面的表述,给出下列结论:①A、B、N 三点共线;②“函数 y ? 5x2 在[0,1]上可在

标准 1 下线性*似”



③“函数 y

?

5x

2

5 在[0,1]上可在标准4下线性*似”.

其中所有

正确结论的序号为 (

).

A.○1 、○2

B. ○2 、③

C.○1 、③

D.○1 、○2 、○3

第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)

二、填空题:本大题共 4 小题;每小题 5 分,共 20 分.

11.若

a

?

(1,1)

,则│

? a

│=__________.

12.已知数列?an? 中,若 a1 ?1, an?1 ? an ? 2?n ?1?, 则该数列的通项公式 an ? ___________.

13.在 ? ABC 中,若 a ? 2 3 , c ? 4 , A ? 60 ,则 b ? __________.

14.已知 a =(1,1),b =(1,-1),c =(-1,2),则向量 c 可用向量 a 、b 表示为



三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 12 分)
已知数列?an ?是等差数列,且 a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12.
(1) 求数列?an ?的通项公式;(2) 求数列?an ?的前 n 项和 Sn .

16. (本小题满 14 分)在 △ABC 中,角 A﹑B﹑C 的对边分别是 a,b, c ,若 a ? 5 ,

cos A ? ? 5 , sin B ? 4 .

13

5

(Ⅰ)求 b 和 sin C 的值;(Ⅱ)求 △ABC 的面积.

17. (本小题满分 14 分) 已知点 A(2,0),B(0,2),C(cos? ,sin? ),且 0<? <? . (1) 若 AC ? BC ,求 sin 2? 的值;
(2) 若| OA ? OC |? 7 ,求 OB 与 OC 的夹角.

18. (本小题满分 14 分)
已知:△ABC 中角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c 且 sin A?cos B ? sin B?cos A ? sin 2C .
(1)求角 C 的大小;
(2)若 a, c,b 成等差数列,且 CA?CB ? 18 ,求 c 边的长.

19.(本小题满分 12 分) 在海港 A 正东 39 nmile 处有一小岛 B,现甲船从 A 港出发以 15 nmile/h 的速度驶向 B 岛,
同时乙船以 6 nmile/h 的速度向北偏西 300 的方向驶离 B 岛,不久之后,丙船则向正东方向 从 B 岛驶出,当甲乙两船相距最*时,在乙船上观测发现丙船在乙船南偏东 600 方向上,问: 此时甲丙两船相距多远?

20.(本小题满分 14 分)

已知:

? a

?

2,

? b

?

3,

? a



? b

的夹角为

450,

求:⑴当向量

? a

?

? ?b



?

? a

?

? b

的夹角为钝角时, ?

的取值范围;

⑵当 ?

?

?2

时,向量

? a

?

? ?b

与?

? a

?

? b

的夹角的余弦值.

题-------------------------------------------------------------

珠海市斗门一中高一年级三月月考数学答卷

一、选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 答案
二、填空题:11. ____________________

7 8 9 10 12. ____________________

13. ____________________ 14. ____________________ 三、解答题:本大题共6小题;共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

得分 评卷人 15.(本小题满分 12 分)

座位号:

试室号:

-----------------------------------------------------------请 在 密 封 线 内 答

姓名:

学号 :

班级:

得分 评卷人 16.(本小题满分 14 分) 得分 评卷人

17.(本小题满分 14 分)

试室号: 座位号:

得分 评卷人 18.(本小题满分 14 分)

得分 评卷人 19.(本小题满分 12 分)

班级

姓名

试室号

-----------------------------------------------------------请 在 密 封 线 内 答

座位号 题-------------------------------------------------------------

得分 评卷人 20.(本小题满分 14 分)

斗门一中高一年级三月月考数学试卷参考答案

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B A D A A D C 10.由O→N=λ →OA+(1-λ )O→B,得 ON ? OB ? ?(OA ? OB) ,即 BN ? ? BA ,故①成立;

对于函数 y ? 5x2 在[0,1]上,易得 A(0, 0), B(1,5) ,

所以 M (1 ? ?,5(1 ? ?)2 ), N (1 ? ?,5(1 ? ?)),

从而 MN ? 52 (1 ? ?)2 ? (1 ? ?))2 ? 5(? ? ?2 ) ? ?5(? ? 1)2 ? 5 ? 5 , 2 44

故函数 y

?

5x

2

5 在[0,1]上可在标准4下线性*似”,

知③成立.

从而选 C.

11. 2

12. 2n ?1

13. 2 14. c ? 1 a ? 3 b 22

15.解: 设数列{an } 公差为 d ,则 a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 3d ? 12, 又 a1 ? 2,

解得 d ? 2.

所以(1) an ? 2n.

(2) Sn ? n2 ? n .

16.解:(Ⅰ)由 cos A ? ? 5 ,得 sin A ? 12 ,

13

13

由正弦定理得 b

?

a ? sin

B

?

5?

4 5

?

13 .

sin A 12 3

13

由 sin B ? 4 ,得 cos B ? 3 .

5

5

所以 sin C ? sin( A ? B) ? sin Acos B ? cos Asin B ? 16 . 65

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 △ABC 的面积 S ? 1 ab sin C ? 1 ?5?13 ? 16 ? 8 .

2

2 3 65 3

17.解:(1) AC ? (cos ? ? 2, sin ? ) , BC ? (cos ?, sin ? ? 2)

∵ AC ? BC ,∴ AC ? BC ? 0 ∴ cos? ? sin? ? 1
2 ∴ (cos? ? sin?)2 ? 1
4

∴ 2sin? cos? ? ? 3 4
?sin 2? ? ? 3 4

(2)由 | OA ? OC |? 7 得 (2 ? cos ?)2 ? sin 2 ? ? 7

∴ cos? ? 1 2

又? ?(0,? ) ,∴? ? ?AOC ? ? 3

又 ?AOB ? ? ,∴ OB 与 OC 的夹角为 ? .

2

6

18.解:(1) ∵ sin A?cos B ? sin B?cos A ? sin 2C

∴ sin(A ? B) ? sin 2C ,------------------------------------2 分

∵ A ? B ? ? ? C,?sin(A ? B) ? sin C

∴ sin C ? sin 2C ? 2sin C cosC ,-----------------------------4 分

∵ 0 ? C ? ? ∴ sin C ? 0

∴ cos C ? 1 2

∴ C ? ? . --------------------------------7 分 3

(2)由 a, c,b 成等差数列,得 2c ? a ? b. ----------------------------8 分

∵ CA?CB ? 18 , 即 abcosC ? 18, ab ? 36. ----------------------------------------11 分

由余弦弦定理 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cosC ? (a ? b)2 ? 3ab ,--------------12 分

? c2 ? 4c2 ? 3? 36, c2 ? 36 , ?c ? 6. ---------------------------14 分

19.
? 20.解:⑴ ? a ? ?b 与 ?a ? b b 的夹角为钝角,知

(a ? ?b) ? (?a ? b) ? 0 且 a ? ?b ? t(?a ? b), (t ? 0)

由 (a ? ?b) ? (?a ? b) ? 0 得 3 ? 2+11 ? +3<0

解得 ?11 ? 85 ? ? ? ?11 ? 85 ;

6

6



a

?

?b

?

t (? a

?

b), (t

?

0)

时,由

a



b

不共线知

?1 ? t? ??? ? t

,解得

?

?

t

?

?1(1

舍去)

所以 ? 的取值范围是 ?11 ? 85 ? ? ? ?1或 ?1 ? ? ? ?11 ? 85 ;

6

6

⑵当 ? =-2 时



? a

+

?

? b

∣=∣

? a

-2

? b

∣=

(a ? 2b)2 ?

2

2

a ? 4b ? 4a ? b ?

26

∣?

? a

? +b

∣=∣-2

? a

? +b

∣=

? (?2a

?

? b)

2

=

? 4a

2

?

? b2

?

?? 2ab

?

5



? a

+?

?
b )·( ?

? a

? +b

)=(

? a

-2

? b

)·(-2

? a

? +b

)=-2

? a

2-2

? b

2+5

? a

? b

=-7

所以 cos? ? ? 7 ? ? 7 130 26 5 130




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